3.1能控性的定义及相关系统能控性与能观性探讨？

<股票开户>3.1能控性的定义及相关系统能控性与能观性探讨？

3.1能控性的定义

3.2线性定常系统的能控性鉴别

3.3线性持续定常系统的能观性

3.4离散时间系统的能控性与能观性

3.5时变系统的能控性与能观性

3.6能控性与能观性的对偶关系

3.7状态空间体现式的能控原则型与能观原则型

3.8线性系统的构造分解

3.9传递函数阵的实现问题

3.10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观

性之间的关系

3.1能控性的定义

1．线性持续定常系统的能控性定义

线性持续定常系统：

如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间区间内，使

系统由某一初始状态，转移到指定的任一终端状态工，则称此状态

是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，

或简称系统是能控的。

几点阐明：

1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻，初始状态

为，而任意终端状态就指定为零状态。即

2)也可以假定=0，而工为任意终端状态，换句话说，若存在

一个无约束控制作用，在有限时间内，能将由零状态驱

动到任意。在这种情况下，称为状态的能达性。

3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非

唯一的，因为我们关心的只是它能否将驱动到，而不计较

的轨迹如何。

2．线性持续时变系统的能控性定义

线性持续时变系统：

3．离散时间系统

这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：

3.2线性定常系统的能控性鉴别

3.2.1具有约旦原则型系统的能控性鉴别

1．单输入系统

具有约旦原则型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：

线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变

换，把状态方程化为约旦标准型，再根据阵，确定系统的能控性；

另一种方法是直接根据状态方程的A阵和B阵，确定其能控性。

式中

(2)

(1)

为简要起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统能控性 物理解释，对其能控性加以

剖析。

(3)

(4)

(5)

1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为：

(6)

(7)

2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为：

3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素

却为0，其微分子方程组为：

(8)

(9)

(10)

(11)

2．具有一般系统矩阵的多输入系统

系统的状态方程为：

(12)

3.2.2直接从A与B鉴别系统的能控性

1．单输入系统

线性持续定常单输入系统：

其能控的充足必要条件是由A、b构成的能控性矩阵：

满秩，即。否则，当时，系统为不能控的。

2．多输入系统

对多输入系统，其状态方程为：

其能控的充足必要条件是矩阵：

式中,B为阶矩阵；为r维列矢量。

的秩为。

(14)

(15)

3.3线性持续定常系统的能观性

3.3.1能观性定义

能观性所表示的是输出反映状态矢量的能力，与控制

作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输

出方程出发，即

如果对任意给定的输入，在有限观测时间,使得根据

期间的输出能唯一地确定系统在初始时刻的状态，则称状态

是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完

全能观测的，或简称是能观的。

(1)

3.3.2定常系统能观性的鉴别

定常系统能观性的鉴别也有两种措施，一种是对系统进行坐标变换，将

系统的状态空间体现式变换成约旦原则型3.1能控性的定义及相关系统能控性与能观性探讨？，然后根据原则型下的C阵，鉴

别其能观性，另一种措施是直接根据A阵和C阵进行鉴别。

1．转换成约旦原则型的鉴别措施

线性时不变系统的状态空问体现式为：

现分两种状况论述如下：

(1)A为对角线矩阵

(2)

这时式(2)用房承租形式表达，可有：

(3)

(4)

从而可得构造图如图所示。将式(3)带入输出方程式(4)能控性 物理解释，得：

(2)A为约旦原则型矩阵

以三阶为例：

这时，状态方程的解为：

从而

(5)

由式(5)可知，当且仅当输出．矩阵C中第一列元素不全为零时，y(t)

中总包括着系统的所有自由分量而为完全能观。

2．直接从A、C阵判断系统的能观性

约旦原则型

系统具有串联型

的构造，如图所示：

3.4离散时间系统的能控性与能观性

3.4.1能控性矩阵M

离散时间系统的状态方程如下：

(1)

3.4.2能观性矩阵N

离散时间系统的能观性，是从下述两个方程出发的。

式中,为维列矢量；C为输出矩阵，其余同式(6)。

(2)

当系统为单输入系统时，式中为标量控制作用．控制阵为维

列矢量；G为系统矩阵；为状态矢量。

根据3.3节中能观性定义，假如懂得有限采样周期内的输出，就能唯

一地确定任意初始状态矢量，则系统是完全能观的，现根据此定义推导

能观性条件。从式(1)，有：

若系统能观，那么在知道时，应能确定

出，，现从式(7)可得：

(3)

写成矩阵形式：

有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于。这个系数矩阵称为

能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即

(4)

(5)

3.5时变系统的能控性与能观性

3.5.1能控性鉴别

1.有关线性时变系统能控性的几点阐明

这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。

3)根据能控性定义，可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。

4)非奇异变换不变化系统的能控性。

2)定义中的，是系统在允许控制作用下，由初始状态转移到

目标状态(原点)的时刻。

1)定义中的允许控制，在数学上要求其元在区间是

绝对平方可积的，即

5)如果是能控状态，则也是能控状态，是任意非零实数。

7)由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成

状态空间中的一个子空间。此子空间称为系统的能控子空间，记为。

6)如果和是能控状态，则也必定是能控状态。

2．线性持续时变系统的能控性鉴别

时变系统的状态方程如下：

系统在上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵

为非奇异的。

(1)

(2)

3.5.2能观性鉴别

1．有关线性时变系统能观性的几点讨论

2)根据不能观测的定义，可以写出不能观测状态的数学体现式：

这是一种很重要的关系式，下面的几种推论都是由它推证出来的。

3)对系统作线性非奇异变换，不变化其能观测性。

5)如果和都是不能观的，则也是不能观的。

1)时间区间是识别初始状态所需要的观测时间，对时变

系统来说，这个区问的大小和初始时刻的选择有关。

4)如果是不能观测的，为任意非零实数，则也是不能观

测的。

6)根据前面分析可以看出，系统的不能观测状态构成状态空间的一种子

(3)

2．线性持续时变系统能观性鉴别

为非奇异的。

在上状态完全能观测的充分必要条件是格拉姆矩阵

3.5.3 持续时变系统可控性和可观性鉴别法则和持续定常系统的

鉴别法之间的关系

时变系统

(4)

(5)

态空间中是零空间，则该系统才是完全能观的。

空间，称为不能观子空间，记为 。只有当系统的不能观子空问 。在状

众所周知，一种矩阵：

因此，有 这个矩阵的列矢量线性无关与 非

奇异等价。

式中， 为列矢量，当且仅当由 构成的格拉姆矩阵

为非奇异时， 列矢量是线性无关的。现在

3.6 能控性与能观性的对偶关系

能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确

定的，运用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的

分析。从而也沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。

3.6.1 线性系统的对偶关系

有两个系统，一个系统 为：

另一个系统 ：为：

若满足下述条件，则称 与 是互为对偶的。

式中， 为 维状态矢量； 各为r与m维控制矢量； 各为

与 维输出矢量； 为 系统矩阵； 各为， 与 ，

维控制矩阵； 各为 与 维输出矩阵。

3.6.2 对偶原理

3.6.3 时变系统的对偶原理

时变系统的对偶关系和定常系统稍有不一样，且其对偶原理的证明也复

杂得多。

对偶原理是现代控制理论中一种十分重要的概念，运用对偶原理可以

把系统能控性分析方面所得到的结论用于其对偶系统，从而很轻易地得到

其对偶系统能观性方面的结论。

系统 和 是互为对偶的两个系统，

则 的能控性等价于 的能观性， 的能观性等价于 的能控性。或

者说，若 是状态完全能控的(完全能观的)，则 是状态完全能观的(完

全能控的)。

3.7 状态空间体现式的能控原则型与能观原则型

3.7.1 单输入系统的能控原则艰

假如系统是状态完全能控的，即满足：

对于一般的 维定常系统：

1．能控标准 型

(1)

若线性定常单输入系统：

是能控的，则存在线性非奇异变换：

(2)

(3)

使其状态空间体现式(1)化成：

(4)

其中

(5)

称形如式(4)的状态空间表达式为能控标准 型。其中 ，

为特征多项式：

的各项系数。

若线性定常单输入系统：

2.能控标准 型

(6)

对应的状态空间体现式(6)转换成：

(7)

是能控的，则存在线性非奇异变换：

(8)

其中

(9)

(10) (11)

并称形如式(8)的状态空间表达式为能控标准 型。

式(9)中的 是系统特征多项式：

的各项系数，亦即系统的不变量。

式(11)中的是

相乘的结果，即：

(12)

3.7.2 单输出系统的能观原则型

与变换为能控原则型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即

有：

系统的状态空间体现式才也许导出能观原则型。

若线性定常系统：

是能观的，则存在非奇异变换：

(13)

(14)

1．能观标准 型

状态空间表达式的能观标准型也有两种形式，能观标准 型和能观标

准 型，它们分别与能控标准 型和能控标准 型相对偶。

使其状态空间体现式(13)化成：

(15)

其中

(16)

(17)

(18)

称形如式(15)的状态空间表达式为能观标准 型。其中

是矩阵A的特征多项式的各项系数。

取变换阵 ：

直接验证，或者用对偶原理来证明。证明过程如下：

首先构造 的对偶系统

然后写出对偶系统 的能控标准 型，∑的状态空间

表达式的能观标准 型即是 的能控标准 型，即

(19)

的能控原则I型对应的系数阵；

2．能观标准 型

(20)

若线性定常单输出系统：

是能观的，则存在非奇异变换

式中， 为系统 的能控原则II型对应的系数阵；

(21)

的对偶系统 的能控标准 型对应的系数阵。

为系统

为系统

使其状态空问体现式(20)变换为：

(22)

其中

(23)

(24) (25)

称形如式(22)的状态空间表达式为能观标准 型。

3.8 线性系统的构造分解

3.8.1 按能控性分解

设线性定常系统

(1)

是状态不完全能控，其能控性鉴别矩阵：

的秩

则存在非奇异变换：

(2)

将状态空间体现式(1)变换为：

(3)

其中

(4)

(5)

(6)

可以看出，系统状态空间表达式变换为式(3)后3.1能控性的定义及相关系统能控性与能观性探讨？，系统的状态空间就被分

解成能控的和不能控的两部分，其中 维子空问：

是能控的，而 维子系统：

是不能控的。对于这种状态结构的分解情况如图所示，因为 对 不起

作用， 仅作无控的自由运动。显然，若不考虑 维子系统，便

可得到一个低维的能控系统。

至于非奇异变换阵：

(7)

其中 个列矢量可以按如下方法构成，前 个列矢量 是

能控性矩阵M中的 个线性无关的列，另外的 个列 在

确保 为非奇异的条件下，完全是任意的。

3.8.2 按能观性分解

设线性定常系统：

其状态不完全能观的，其能观性鉴别矩阵

的秩

(8)

则存在非奇异变换：

(9)

将状态空间体现式(8)变换为：

(10)

其中

(11)

(12)

(13)

可见，经上述变换后系统分解为能观的 ，维子系统：

结构图如下。显然，若不考虑 维不能观测的子系统，便得到一个 。

维的能观系统。

和不能观的 ，维子系统：

非奇异变换阵 是这样构成的，取

(14)

3.8.3 按能控性和能观性进行分解

1)假如线性系统是不完全能控和不完全能观的，若对该系统同步按能

控性和能观性进行分解，则可以把系统分解成能控且能观、能控不能观、

不能控能观、不能控不能观四部分。当然，并非所有系统都能分解成有这

四个部分的。

2)变换矩阵R确定之后．只需经讨一次变换便可对系统同步按能控性

和能观性进行构造分解．不过R阵的构造需要波及较多的线性空间概念。

3)构造分解的另一种措施：先把待分解的系统化约旦原则型，然后按

能空鉴别法则和能管鉴别个状态变量的能控型和能观性，最终按能控能观、

能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分类排列，即可构成

对应的子系统。

3.9 传递函数阵的实现问题

3.9.1 实现问题的基本概念

对于给定传递函数阵W(s)，若有一状态空间体现式∑：

则称该状态空间体现式∑为传递函数阵W(s)的一种实现。

使之成立

3.9.2 能控原则型实现和能观原则型实现

(1)

3.7节已经介绍，对于一个单输入单输出系统，一旦给出系统的传递函数，

便可以直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。本节介绍如何将

这些标准型实现推广到多输入多输出系统。为此，必须把 维的传递函

数阵写成和单输入单输出系统的传递函数相类似的形式，即

式中， 为 维常数阵；分母多项式为该传递

函数阵的特征多项式。

显然W(s)是一个严格真有理分式的矩阵，且当 时，W(s)对

应的就是单输入单输出系统的传递函数。

(2)

对于式形式的传递函数阵的能控原则型实现为：

(3)

(4) (5)

与此类推，其能观原则型实现为：

(6)

(7)

(8)

式中， 和 。为 阶零矩阵和单位矩阵； 为输入矢量的维数。

3.9.3最小实现

1.最小实现的定义

传递函数W(s)的一种实现：

假如W(s)不存在其他实现：

(9)

(10)

使 的维数小于 的维数，则称式(9)的实现为最小实现。

2.寻求最小实现的环节

传递函数阵W(s)的一种实现∑：

为最小实现的充足必要条件是∑(A，B，C)既是能控的又是能观的：

这个定理的证明从略。根据这个定理可以以便确实定任何一一种具有严

格的真有理分式的传递函数阵W(s)的最小实现。一般可以按照如下环节来进

行。

1)对给定传递函数阵W(s)，先初选出一种实现∑(A，B，C)：一般最以

便的是选用能控原则型实现或能观原则型实现。

2)对上面初选的实现 ∑ ( A，B，C )，找出其完全能控且完全能观部

分 ，于是这个能控能观部分就是W(s)的最小实现。

3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系

既然系统的能控且能观性与其传递函数阵的最小实现是同义的，那么

能否通过系统传递函数阵的特性来鉴别其状态的能控性和能观性呢?可以

证明，对于单输入系统、单输出系统或者单输人单输出系统．要使系统是

能控并能观的充足必要条件是其传递函数的分子分母间没有零极点对消。

可是对于多输入多输出系统来说，传递函数阵没有零极点对消，只是系统

最小实现的充足条件，也就是说，虽然出现零极点对消，这种系统仍有可

能是能控和能观的。

对于一种单输入单输出系统∑(A，b，c)

欲使其是能控并能观的充足必要条件是传递函数

的分子分母问没有零极点对消。

(1)

(2)

本章完

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